“YESHIVOT” PARA LOS REMOLONES

[Gabriel]

[SANTIAGO]

ACABO DE TERMINAR TODO EL TEXTO, MUY BUENO. ME ES DE GRAN UTILIDAD. MUCHAS GRACIAS, TE FELICITO.

[Gabriel]

Hace un tiempo había prometido en el foro de Yeshivot explicar el significado geométrico de la integral y como yo siempre suelo cumplir mis promesas, intentare dar solo una pequeña introducción teórica sobre este perplejo tema.
Con la integral definida por ejemplo entre dos puntos (a, b) se pretende generalmente calcular el área de una región limitada por una curva cualquiera que se encuentra entre el intervalo (a, b).
Es una costumbre muy extendida resaltar las áreas marcándolas con múltiples líneas paralelas. Si la función f es positiva sobre el intervalo cerrado a, b. La integral definida de la función f sobre dicho intervalo representa el área de la región limitada por la curva. Por ejemplo para la función y = f(x) el área de la región limitada por la curva se calcula integrando f(x), o sea § f(x) dx.
Si la función f es negativa sobre el intervalo cerrado a, b. La integral definida de la función f sobre dicho intervalo representa el área de la región limitada por la curva, pero con signo negativo. Por ejemplo para la función y= f(x) el área se calcula integrando f(x), § f(x) dx.
Si la función toma valores positivos y negativos sobre el intervalo cerrado (a, b). Entonces, la integral definida de la función f sobre dicho
intervalo representa la suma de las áreas de las regiones comprendidas
entre la función, el eje de las x, y las perpendiculares por a y b, pero
asignándole a cada una de ellas el signo + o -, según que este por
encima o por debajo del eje x . Por lo que en tal caso la integral no nos
da una medida del área.
Para el calculo de área de figuras planas los Griegos efectuaban un calculo aproximado mediante el método exhaustivo. Ellos rellenaban lo más posible la región con polígonos (triángulos, cuadriláteros, rectángulos, trapecios, etc. como expliqué en algún momento en el foro Yeshivot, aunque cabe destacar que el Talmud utiliza otro mecanismo (algo similar al Griego) que es la utilización de un cordón, por el cual ese calculo solo es practico en figuras pequeñas) luego los Griegos tomaban como valor aproximado del área del plano la suma de las áreas de todos esos polígonos.
Riemann utilizó el método exhaustivo como los griegos, pero utilizando siempre rectángulos. Este proceso consistía en estrechar al máximo los rectángulos. En fin, se divide la región en rectángulos. En la práctica estos rectángulos son horizontales o verticales. Sin embargo, para el planteamiento teórico se puede suponer que los rectángulos son verticales. Los rectángulos no tienen por qué tener la misma anchura. La altura del rectángulo puede ser cualquier valor comprendido entre el valor mínimo y el máximo de la función en cada uno de los subintervalos. De esta manera el área de la región se puede aproximar, cuanto queramos, mediante la suma de las áreas de los rectángulos. A la suma de las áreas de los rectángulos se les llama SUMAS DE RIEMANN. A la primera de ellas se le llama suma inferior y a la última suma superior.
LA INTEGRAL PUEDE INTERPRETARSE COMO EL LÍMITE DE LA SUMA DE LAS ÁREAS DE LOS INFINITOS RECTÁNGULOS INFINITESIMALES.
Si las curvas se cortan dentro del intervalo de integración, entonces habrá que descomponer la integral en esos puntos y calcular las áreas por separado. Por ultimo, me pareció interesante dejar la tabla de las integrales inmediatas que se calculan sin métodos especiales, tales como el método por parte, sustitución, fracciones simples, etc.

§ dx = x + C
§ x^n dx = x^n+1/ (n+1) + C
§ 1/x dx = ln IxI + C
§ e^x dx = e^x + C
§ k^x dx = k^x/ln k + C
§ sen x dx = - cos x + C
§ cos x dx = sen x + C

[lorena]

Gabriel sos re inteligente, te re quiero, sos re lindo, sos kadosh!!! ja! ja! Besitos!!!

[Gabriel]

La integral no solo sirve para calcular el área de una figura plana sino que también sirve para calcular el volumen de un sólido tridimensional, la longitud de un arco, el área de una superficie de revolución.
Además existen aplicaciones importantes de la integración, que se refieren al concepto de masa. La masa se considera una medida absoluta de la cantidad de materia de un cuerpo, sin embargo, son tantas las aplicaciones en que aparece la masa en la superficie terrestre, que se tiende a igualar la masa de un objeto con su peso. Esto es técnicamente incorrecto. El peso, es un tipo de fuerza y, como tal, depende de la gravedad.
Fuerza y masa están relacionados por la ecuación: Fuerza = Masa x Aceleración.
Intuitivamente, se ve al centro de masas (x, y) de una placa plana como su punto de equilibrio. Por ejemplo, el centro de masas de una placa plana circular está situada en el centro del círculo, y el centro de masa de una placa plana rectangular está situado en el centro del rectángulo.
Si consideramos una placa plana de contornos irregulares y densidad uniforme p limitada por las gráficas de y = f (x) , y = g (x) , con a <= x <= b. La masa de esta región será:

Masa = Densidad x Area. O sea, p x §[f (x) – g (x)] dx

Por ultimo para terminar el tema, me pareció importante nombrar un teorema útil, que se origina debido a Pappus de Alejandría (300 años antes de la era común) matemático griego cuya Colección Matemática contiene un resumen de gran parte de la matemática de la Grecia clásica.
Teorema de Pappus: Sea R una región del plano y L una recta en ese plano que no corta al interior de R. Si r es la distancia del centroide de R a la recta L, el volumen del sólido de revolución generado al girar R en torno a la recta L viene dado por: V = 2pirA
Donde A es el área de R. (2pir es la distancia que recorre el centroide de la región al girar en torno a la recta L).
EL TEOREMA DE PAPPUS SE PUEDE UTILIZAR PARA CALCULAR EL VOLUMEN DE UN TORO, QUE ES UNA FIGURA EN FORMA DE ROSQUILLA QUE SE GENERA HACIENDO GIRAR UNA REGIÓN CIRCULAR EN TORNO A UNA RECTA QUE ESTÉ EN SU MISMO PLANO Y QUE NO CORTE AL CÍRCULO.

[Mariela]

Gabriel ¿como estas? es muy interesante lo que escribiste. Porque nadie sabe como es el sistema de las yeshivot. No sabía que era así. Yo empecé el CBC este año y estoy estudiando ciencias económicas, eso de la integral que explicaste esta muy piola. Besos!

PD: te dejé un mensaje privado.

[SANTIAGO]

Próximamente estará en venta mi libro en varios idiomas, saludos y mis mayores felicitaciones para Gabriel y demas participantes.